Question

已知函数，．

(1)若，，求的单凋区间；

(2)若函数是函数的图像的切线，求的最小值；

(3)求证：．

Answer

(1) 的单调增区间为，单调减区间为区间为；(2) ；(3) 见解析.

【解析】

试题分析: (1)先求函数导数，再在定义域内求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律，确定单调区间，（2）先设切点，根据导数几何意义将 表示成 的函数： ，再利用导数求函数最小值，(3)利用结论，进行放缩 ，转化证明，这可以构造差函数，利用导数可得其最大值为.

试题解析: (1)时， ，

，，

解得，解得，

∴的单调增区间为，单调减区间为区间为．

(2)设切点坐标为设切点坐标为，

，

切线斜率，又，

∴，∴

令，

，

解得，解得，

∴在上递减，在上递增．

∴，∴的最小值为．

(3)法一：令，

由(1)知，∴.

又，∴

∴，（两个等号不会同时成立）

∴．

法二：令，

显然在上递增，，

∴在上有唯一实根，且， ，

∴在上递减，在上递增，

∴

∴，