Question

记抛物线的焦点为，点在抛物线上，且直线的斜率为1，当直线过点时，.

（1）求抛物线的方程；

（2）若，直线与交于点，，求直线的斜率.

Answer

（1）（2）0

【解析】

（1）根据题意，设直线，与联立，得，再由弦长公式，求解.

（2）设，根据直线的斜率为1，则，得到，再由，所以线段中点的纵坐标为，然后直线的方程与直线的方程 联立解得交点H的纵坐标，说明直线轴，直线的斜率为0.

（1）依题意，，则直线，

联立得；

设，

则，

解得，故抛物线的方程为.

（2），

因为直线的斜率为1，则，所以，

因为，所以线段中点的纵坐标为.

直线的方程为，即 ①

直线的方程为，即 ②

联立①②解得即点的纵坐标为，即直线轴，

故直线的斜率为0.

如果直线的斜率不存在，结论也显然成立，

综上所述，直线的斜率为0.