Question

已知函数.

（1）当时，求的单调增区间；

（2）若，且在上有唯一的零点，求证：.

Answer

（1）在上单调递增；（2）见解析

【解析】

（1）求出，令，解不等式可得单调递增区间；

（2）通过求的导函数，可得在上有两个极值点，设为，，又由在上有唯一的零点可得，所以有，消去，可得，记，，研究其单调性，利用零点存在性定理可得结果.

（1）由已知的定义域为，

当时，，

则，

令且，则，

故在上单调递增；

（2）由，

有，

记，由，有，

即在上有两个极值点，设为，，

不妨设，且，是的两个根，

则，

又在上有唯一的零点，且当时，，当时，，

所以得，

所以，两式结合消去，得，

即，

记，，

有，其在上单调递增，

所以

则在上恒成立，

即在上单调递减，

又，

由零点存在定理，.