Question

如图，三棱锥D-ABC中，，E，F分别为DB，AB的中点，且.

（1）求证：平面平面ABC；

（2）求二面角D-CE-F的余弦值.

Answer

(1)证明见解析；(2) .

【解析】

（1）取的中点，可得，，从而得到平面，得到，由，，得到，从而得到平面，所以平面平面；（2）以为原点，建立空间直角坐标系，利用余弦定理和勾股定理，得到，，得到的法向量，平面的法向量，根据向量夹角的余弦公式，得到二面角的余弦值

（1）如图取的中点，连接，，

因为，所以，

因为，所以，

又因为，所以平面，

平面

所以.

因为，分别为，的中点，所以.

因为，即，

则.

又因为，

所以平面，

又因为平面DAB，

所以平面平面.

（2）因为平面，则以为坐标原点，

过点与垂直的直线为轴，为轴，AD为轴，

建立如下图所示的空间直角坐标系.

因为，

在中，

，

所以.

在中，，

所以点，，

.

设平面的法向量为

.

所以，即，

可取.

设平面的法向量为

.

所以，即，

可取，

则

因为二面角为钝二面角，所以二面角的余弦值为.