Question

设是曲线上两点，两点的横坐标之和为4，直线的斜率为2.

（1）求曲线的方程；

（2）设是曲线上一点，曲线在点处的切线与直线平行，且，试求三角形的面积.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

（1）由题意设出直线方程,并设.联立直线与抛物线方程,用韦达定理求得,即可得曲线的方程;

（2）将曲线C的方程变形,求得导函数.根据题意可求得切点M的坐标.联立直线与抛物线,结合韦达定理可得.结合直线方程可表示出.利用平面向量数量积定义,表示出.根据即可得.所以可得直线方程.结合弦长公式即可求得,利用点到直线距离公式可得点到直线的距离,进而求得三角形的面积.

（1）设直线方程为：

则,

则,

所以

即曲线C的方程为；

（2）设,曲线,

变形可得,则

曲线在点处的切线与直线平行可得：

,所以,

,化简可得

则

,

,

,即

∴

直线方程为：

弦长,

高为点到直线的距离,

所以