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棱长为a的正四面体ABCD与正三棱锥的底面重合,若由它们构成的多面体ABCDE的...

棱长为a的正四面体ABCD与正三棱锥的底面重合,若由它们构成的多面体ABCDE的顶点均在一球的球面上,则正三棱锥的表面积为(   

A. B. C. D.

 

A 【解析】 由棱长为的正四面体求出外接球的半径,进而求出正三棱锥的高及侧棱长,可得正三棱锥的三条侧棱两两相互垂直,进而求出正三棱锥的表面积. 由题意,多面体ABCDE的外接球即正四面体ABCD的外接球, 由题意可知面交于,连接,则 且其外接球的直径为AE,易求正四面体ABCD的高为. 设外接球的半径为R,由得. 设正三棱锥的高为h,因为,所以. 因为底面的边长为a,所以, 则正三棱锥的三条侧棱两两垂直. 即正三棱锥的表面积, 故选:A.
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A.4 B. C. D.

 

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