已知函数（）（1）当，证明；（2）如果函数有两个极值点，（），且恒成立，求实...

已知函数（）

（1）当，证明；

（2）如果函数有两个极值点，（），且恒成立，求实数k的取值范围.

（3）当时，求函数的零点个数.

（1）证明见解析，（2），（3）时有一个零点，当且时，有两个零点. 【解析】（1）只需证明，构造函数，利用导数易得证；（2）求导后可知的两根分别为，，进而可得，表示出，构造函数求其在定义域上的最大值即可；（3）研究可知，再分类讨论结合导数及零点存在性定理即可得出结论．（1）时，等价于证明：即证，令，当时，，单调递减当时，，单调递增 ∴，∴，证毕! （2）的两根分别为， ∴，解得 ∴ 显然在上单调递减. ∴ ∴ （3）当时，，令 ∴其只有一个正数根，（）且当时，，单调递增；当时，，单调递减 ∴最大值令，（）令当时，，单调递减；当时，，单调递增 ∴ ∴ ①当，即时，，此时只有一个零点 ②当，即且时，此时，注意到（i）当时，，而令取知 ∴在上有一个零点，另一个零点为1 （ii）当，即时，此时取知 ∴有一个零点为1，另一零点在上，故时有一个零点，当且时，有两个零点.

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考点分析：

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某游乐场过山车轨道在同一竖直钢架平面内，如图所示，矩形的长为130米，宽为120米，圆弧形轨道所在圆的圆心为0，圆O与，，分别相切于点A，D，C､T为的中点.现欲设计过山车轨道，轨道由五段连接而成：出发点N在线段上（不含端点，游客从点Q处乘升降电梯至点N），轨道第一段与圆O相切于点M，再沿着圆孤轨道到达最高点A，然后在点A处沿垂直轨道急速下降至点O处，接着沿直线轨道滑行至地面点G处（设计要求M，O，G三点共线），最后通过制动装置减速沿水平轨道滑行到达终点R记为，轨道总长度为l米.