Question

已知函数.

（1）当时，求该函数的最大值；

（2）是否存在实数，使得该函数在闭区间上的最大值为？若存在，求出对应的值；若不存在，试说明理由.

Answer

（1）；（2）存在，且.

【解析】

（1）将代入函数的解析式，得出，由结合二次函数的基本性质可得出该函数的最大值；

（2）换元，将问题转化为二次函数在区间上的最大值为，然后分、和三种情况讨论，利用二次函数的基本性质求出函数在区间上最大值，进而求得实数的值.

（1）当时，，

，当时，该函数取得最大值，即；

（2），

当时，设，设，，

二次函数的图象开口向下，对称轴为直线.

当时，函数在上单调递减，所以时，，不符合题意；

当时，函数在上单调递增，所以时，，满足；

当时，函数在上单调递增，在上单调递减，

当时，，不满足.

综上，存在符合题意.