Question

已知定点，，直线、相交于点，且它们的斜率之积为，记动点的轨迹为曲线。

（1）求曲线的方程；

（2）过点的直线与曲线交于、两点，是否存在定点，使得直线与斜率之积为定值，若存在，求出坐标；若不存在，请说明理由。

Answer

(1) ；(2) 存在定点，见解析

【解析】

（1）设动点，则，利用，求出曲线的方程．

（2）由已知直线过点，设的方程为，则联立方程组，

消去得，设，，，利用韦达定理求解直线的斜率，然后求解指向性方程，推出结果．

【解析】
（1）设动点，则，

，

，即，

化简得：。

由已知，故曲线的方程为。

（2）由已知直线过点，设的方程为，

则联立方程组，消去得，

设，，则

又直线与斜率分别为，

，

则。

当时，，；

当时，，。

所以存在定点，使得直线与斜率之积为定值。