Question

已知函数．

（1）若曲线在点处的切线方程为，求的值；

（2）当时，，求实数的取值范围．

Answer

（Ⅰ） （Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）先求导，再求为切线的斜率，写出切线方程，与已知对应相等，可求得a，b.

（Ⅱ）方法一：构造，

问题转化为在上恒成立，即，

求导对a分类讨论，将导数为0的根与给定区间端点比较，从而求得g(x)的最小值，解得a的范围.

方法二：直接分离变量得恒成立，令，，求导求得最小值即可.

（Ⅰ）

由已知得，， 切线方程为y-a=,即y=2ax+a，所以有2a=3，b=a，

从而．

（Ⅱ）方法一：令，

问题转化为在上恒成立，

即，

，

①若，则，在上单调递减，

又，不合题意，舍去.

②若，则由及，得．

当时，；当时，，

故在单调递减，在单调递增．

所以当时，取得极小值，即为最小值，

，

由，解得

③若，在上恒成立，

所以在上单调递增，

所以，满足题意．

综上，的取值范围为．

方法二：由已知得：当时，恒成立，

问题转化为：当时，

令，

则，

由及，得．

当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

所以，当时，

所以．即的取值范围为．