Question

[选修4-5：不等式选讲]

已知函数f（x）=|2x﹣1|+|x+1|，g（x）=|x﹣a|+|x+a|．

（Ⅰ）解不等式f（x）＞9；

（Ⅱ）∀x₁∈R，∃x₂∈R，使得f（x₁）=g（x₂），求实数a的取值范围．

Answer

（1） （2）

【解析】

试题（1）绝对值函数分段讨论解不等式．（2）由题意可得函数f（x）的值域是函数g（x）值域的子集，所以先求得f(x)的值域，再由绝对值不等式求得g(x)值域．

试题解析：（Ⅰ）不等式f（x）＞9⇔，或，或，

即x＜﹣3或∈∅或x＞3，∴原不等式解集为（3，+∞）∪（﹣∞，3）；

（Ⅱ）∀x1∈R，∃x2∈R，使得f（x1）=g（x2）⇔函数f（x）的值域是函数g（x）值域的子集，，当x＜﹣1时，﹣3x＞3；

当﹣1≤x时，﹣x+2≤3；当时，，

∴函数f（x）的值域是，g（x）=|x﹣a|+|x+a|≥|2a|，

∴，即．∴实数a的取值范围为[﹣，]．