Question

已知函数，曲线在点处的切线在y轴上的截距为.

（1）求a；

（2）讨论函数和的单调性；

（3）设，求证：.

Answer

（1） （2）为减函数，为增函数. （3）证明见解析

【解析】

（1）求出导函数，求出切线方程，令得切线的纵截距，可得（必须利用函数的单调性求解）；

（2）求函数的导数，由导数的正负确定单调性；

（3）不等式变形为，由递减，得()，即，即，依次放缩，．

不等式，递增得()，,,,先证，然后同样放缩得出结论．

【解析】
（1）对求导，得.

因此.又因为，

所以曲线在点处的切线方程为

，

即.

由题意，.

显然，适合上式.

令，

求导得，

因此为增函数：故是唯一解.

（2）由（1）可知，，

因为，

所以为减函数.

因为，

所以为增函数.

（3）证明：由，易得.

由（2）可知，在上为减函数.

因此，当时，，即.

令，得，即.

因此，当时，.

所以成立.

下面证明：.

由（2）可知，在上为增函数.

因此，当时，，

即.

因此，

即.

令，得，

即.

当时，

.

因为，

所以，所以.

所以，当时，

.

所以，当时，成立.

综上所述，当时，成立.