Question

记．

（1）求方程的实数根；

（2）设，，均为正整数，且为最简根式，若存在，使得可唯一表示为的形式，试求椭圆的焦点坐标；

（3）已知，是否存在，使得成立，若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）2（2），．（3）不存在．见解析

【解析】

（1）根据函数解析式化简方程，求解即可；（2）要求椭圆焦点坐标，应先求的值，因为，由二项展开可得，这里，，为了得到，先得，相乘得，再结合条件，进而可求得，可得结果；

（3）不存在，使得成立，即证对任意，都有，由条件可得即证在下，不等式恒成立．

方法一，当时，不等式恒成立易证；当，且时，用二项式定理展开，然后缩小可证不等式恒成立；方法二，用数学归纳法证明；方法三，由已知可设，由可得，将不等式的左边化简为

，利用二项式定理展开缩小可证。

【解析】
（1）由得，

∵，∴

∴，即所求方程的实数根为2．

（2）因为为最简根式，且，，，所以由二项展开可得

，这里，，

则．

两式相乘得．

即，

现由，

又依题意得：，便知，

知由（*）得，即．

因此，椭圆方程为，

故，其焦点坐标为，．

（3）不存在．

只须证：对任意，都有．

证明如下，由

可得，

注意到

，

故亦只须证：在下，

不等式恒成立．

方法一：∵，，

∴由已知可得从而．

当时，因，，

故成立．

当，且时，

…

．

综上，对一切成立．

方法二：∵，，

∴，从而，

因此

（i）当时，因，，

故成立．

（ii）假设当时，不等式成立，即

那么，当时，注意到，，故

，

即成立，这就是说，当时，不等式也成立．

综上所述，不等式对一切成立．

方法三：由已知可设，由可得，

注意到，

从而，

，

因此，不等式对一切均成立．