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已知点在抛物线:上. (1)求的方程; (2)过上的任一点(与的顶点不重合)作轴...

已知点在抛物线上.

1)求的方程;

2)过上的任一点的顶点不重合)作轴于,试求线段中点的轨迹方程;

3)在上任取不同于点的点,直线与直线交于点,过点轴的垂线交抛物线于点,求面积的最小值.

 

(1)(2)(3)面积的最小值为. 【解析】 (1)将点的坐标代入抛物线方程即可求解; (2)设中点的坐标,并用坐标坐标表示点的坐标,代入抛物线方程即可,另外排除; (3)方法一,设点A的坐标,写出直线的方程,并与直线方程联立,求解点P的坐标,进而写点B坐标,判断直线AB过定点,根据与点,将分割成与,用与的面积和表示所求,进而求最值;方法二,设点A的坐标,由向量共线求点P坐标,进而求点B坐标,是上的一点,由向量共线证明直线AB过定点,根据与点,将分割成与,进而用点A、B的纵坐标表示面积,可求最值;方法三,设直线:,与抛物线方程联立,由韦达定理得点A、B的纵坐标的关系。用点B坐标表示点P的坐标,由A、C、P三点共线推出m,n的关系,进而可得直线过定点,根据与点,将分割成与,进而用点A、B的纵坐标表示面积,可求最值。 【解析】 (1)依题意,得, 所以, 从而的方程为. (2)设线段中点的坐标为,则点的坐标为. 由点在上,得 化简得,显然, 所以线段中点的轨迹方程为. (3)方法一:设点的坐标为, 则直线的方程为, 由解得, 即点的坐标为, 因为轴,过点在抛物线上, 所以的点坐标为. 故当时,点坐标为,点坐标为,直线过定点;… 当时,显然, 故直线的方程可为, 化简得. 因为任意,故,解得, 所以,直线也过定点. 于是,可设直线的方程为,且,, 由得, 则,, , 所以当时,的面积最小值为.此时,易得、两点的坐标可分别为 、. 方法二:因是抛物线上不同于点的点,故可设点, 又点在直线上,故可设点, 由、、三点共线得,而,, 所以点的纵坐标为, 因此,点的坐标为. 因为轴,且点在抛物线上,所以点坐标为, 设是上的一点,则, 而,, 所以, 即, 又. 所以, 即. 整理得 因任意,故,解得, 故直线过定点. 由此可得,不妨设点在点的上方,则. 于是的面积为 . 显然,当时等号成立,故面积的最小值为,此时,易得、两点的坐标可分为、. 方法三,设直线:,则由得, 设,,则, 因为轴,所以点的纵坐标为, 又点在直线上,所以点的坐标为, 因为、、三个共线,所以,而,, 所以. 又,所以, 即.…………(*) 将、代入(*). 得. 即.因为任意,所以.… 即,故直线过定点. 由此可得,于是的面积为 , 所以当时,的面积的最小值为.此时,易得、两点的坐标可分别为、.
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