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设椭圆为左右焦点,为短轴端点,长轴长为4,焦距为,且,的面积为. (Ⅰ)求椭圆的...

设椭圆为左右焦点,为短轴端点,长轴长为4,焦距为,且,的面积为.

(Ⅰ)求椭圆的方程

(Ⅱ)设动直线椭圆有且仅有一个公共点,且与直线相交于点.试探究:在坐标平面内是否存在定点,使得以为直径的圆恒过点?若存在求出点的坐标,若不存在.请说明理由.

 

(1) (2)存在定点P(1,0) 【解析】 (Ⅰ)由椭圆长轴长为4,焦距为2c,且b>c,△BF1F2的面积为,列方程组,求出a,b,c,得椭圆方程.(Ⅱ)将直线l方程与椭圆方程联立,由直线与椭圆有且只有一个公共点,求出M,由,得N(4,4k+m).假设存在定点P满足条件,由图形对称性知,点P必在x轴上.设P(x1,0),由,得(4x1﹣4)+x12﹣4x1+3=0,由此可求出满足条件的定点. (1)由题意知,解得:,故椭圆C的方程是. (2)由得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0. 因为动直线l与椭圆C有且只有一个公共点M(x0,y0),所以m≠0且Δ=0, 即64k2m2-4(4k2+3)(4m2-12)=0,化简得4k2-m2+3=0.(*) 此时x0=-=-,y0=kx0+m=,所以M(- 由得N(4,4k+m). 假设平面内存在定点P满足条件,由图形对称性知,点P必在x轴上. 设P(x1,0),则对满足(*)式的m、k恒成立. 因为=(-,=(4-x1,4k+m),由, 得-+-4x1+x++3=0, 整理,得(4x1-4)+x-4x1+3=0.(**) 由于(**)式对满足(*)式的m,k恒成立,所以解得x1=1. 故存在定点P(1,0),使得以MN为直径的圆恒过点M.
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