Question

已知定义在上的函数同时满足：①对任意，都有；②当时，，

（1）当时，求的表达式；

（2）若关于的方程在上有实数解，求实数的取值范围；

（3）若对任意，关于的不等式都成立，求实数的取值范围.

Answer

（1）；（2）或；（3）

【解析】

(1)由①求函数周期T=2，然后由函数周期性和递推关系式求出的函数解析式；

(2)设方程的实数解为，利用(1)的结论解方程和不等式或即可求出参数的取值范围；

(3)先求函数的最小值，再由函数的周期性可得在上恒有，然后求得在上的最大值为最后由即可得出答案.

（1）∵对任意，都有，∴，

即则可得函数的周期为T=2，

当时，,∴当时，，，

当时，，，

∴时， ；

（2）设关于的方程在上的实数解为

则或，∴或

∴或

（3）由(1)得可得在上，又因函数的周期为T=2，则可得上恒有，

令函数得在上单调递增，则可得，

由题意对任意，关于的不等式都成立，

则可得恒有：即解得.