Question

已知点直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之和为2.

（1）设且，求的表达式，并写出函数的定义域；

（2）判断函数的奇偶性？并给出证明;

（3）试用函数单调性的定义证明：在定义域上不是增函数，但在（0，1）∪（1，+）上为增函数.

Answer

（1），定义域为{丨且}；（2）奇函数，证明见解析；（3）证明见解析.

【解析】

(1)设由题意求出，然后列出表达式，再求出满足表达式的定义域；

(2)利用函数奇偶性的定义直接证明判断；

(3)举出反例证明函数在整个定义域上不是增函数，然后利用函数单调性的定义证明在（0，1）∪（1，+）上为增函数.

（1）设，由题意可得，则，

化简得得：，由，可得且，所以可得函数表达式为：，定义域为{丨且}；

（2）由(1)得函数定义域为{丨且}，关于原点对称，

所以由，可得在定义域上是奇函数；

（3）取，

则由，可得在定义域上不是增函数，

设，

显然无论，或者或者都有，即

从而在（0，1）∪（1，+）上为增函数.