Question

已知f(x)＝x²＋2xtanθ－1，x∈[－1，]，其中θ∈(－，)．

(1)当θ＝－时，求函数f(x)的最大值；

(2)求θ的取值范围，使y＝f(x)在区间[－1，]上是单调函数．

Answer

(1) (2) (－，－]∪[，)

【解析】

（1）求出函数的解析式，根据二次函数的性质求出函数的最大值即可；

（2）根据二次函数的性质得到函数f（x）的单调性，求出tanθ的范围，求出θ的范围即可．

(1)当θ＝－时，f(x)＝x2－x－1

＝(x－)2－，x∈[－1，]．

∴当x＝－1时，f(x)的最大值为.

(2)函数f(x)＝(x＋tanθ)2－(1＋tan2θ)图象的对称轴为x＝－tanθ，

∵y＝f(x)在[－1，]上是单调函数，

∴－tanθ≤－1或－tanθ≥，

即tanθ≥1或tanθ≤－.

因此，θ角的取值范围是(－，－]∪[，)．