Question

在直角坐标系中，过点的直线与抛物线相交于，两点，弦的中点的轨迹记为.

（1）求的方程；

（2）已知直线与相交于，两点.

（i）求的取值范围；

（ii）轴上是否存在点，使得当变动时，总有？说明理由.

Answer

(1) ； (2) （i）或.（ii）见解析.

【解析】

（1）先设，，，根据，以及题意，得到，再由，两式联立，即可得出结果；

（2）（i）先由题意得到方程组有两不同实数解，消去，根据判别式，以及题中条件，列出不等式求解，即可得出结果；

（ii）假设存在是符合题意的点；设，，联立直线与曲线方程，根据韦达定理，得到，，计算，只需，即可得.

（1）设，，，由题意可得：，

则，从而，

因为点为弦的中点，所以，即，

又直线过点，所以，

则，即，

而必在抛物线的内部，从而，即.

故的方程为.

（2）（i）因为直线与相交于，两点，

所以方程组有两不同实数解，

由消去，得，

即在上有两个不相等的实数根，

所以，只需且，

即且，解得：或.

所以的取值范围是或；

（ii）假设存在是符合题意的点；设，.

将消去，得，故，，

由（i）知：或；

从而

，

因此，当，即时，，

又为坐标原点，所以，

即存在点符合题意.