Question

已知函数，（其中是常数）.

（Ⅰ）求过点与曲线相切的直线方程；

（Ⅱ）是否存在的实数，使得只有唯一的正数，当时不等式恒成立，若这样的实数存在，试求，的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）存在实数，只有唯一值，

【解析】

（Ⅰ）先求导数，根据导数几何意义用切点坐标表示切线斜率，再根据点斜式得切线方程，最后根据切线过点求切点坐标，即得结果,

（Ⅱ）先化简不等式，构造函数，利用导数研究新函数单调性，确定最小值取法，再根据最小值不大于零，结合解得唯一性确定，的值.

【解析】
（Ⅰ）设过点的直线与曲线相切于点，

因，则，

所以在处切线斜率为，

则在处切线方程为，

将代入切线方程，得，

所以，

所以切线方程为；

（Ⅱ）假设存在的正实数，使得只有唯一的正数，当时不等式恒成立，即恒成立，

因为，所以，即，

令

则，由于，即，

（1°）当即时，

时，，则在上为增函数，

时，，则在上为减函数，

则，

即，令，

则，由，得，

时，，则在区间上为减函数，

时，，则在区间上为增函数，

因此存在唯一的正数，使得，故只能.

所以，

所以，此时只有唯一值.

（2°）当即时，，所以在上为增函数，

所以，即，故.

所以满足的不唯一，

综上，存在实数，只有唯一值，当时，恒有原式成立.