Question

如图，已知为圆锥底面的直径，点是圆锥底面的圆周上，，，，是上一点，且平面平面.

（Ⅰ）求证；

（Ⅱ）求多面体的体积.

Answer

（Ⅰ）证明见解析 （Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）先根据等腰三角形性质得，再根据面面垂直性质定理得，即可证得结果，

（Ⅱ）先求，根据等体积法或求高可得，再根据与多面体的体积关系得结果.

【解析】
（Ⅰ）因为是等边三角形，，

所以，

因为平面，且交线为，

所以，

因为，

所以；

（Ⅱ）解法一：因为，，，

所以， ，

在中，，又，

所以，，

所以点到平面的距离为点到平面的距离的，

所以三棱锥的体积，

所以多面体的体积为

.

解法二：，，

在中，，，

在中，，所以，

从而，

由（Ⅰ）可知，

所以，

又因为，

所以多面体的体积为.