Question

已知函数.

（1）求的极值；

（2）若，且，证明：.

Answer

（1）极大值为；极小值为；（2）见解析

【解析】

（1）对函数求导,进而可求出单调性,从而可求出函数的极值;

（2）构造函数,求导并判断单调性可得,从而在上恒成立,再结合,,可得到,即可证明结论成立.

（1）函数的定义域为,,

所以当时,;当时,,

则的单调递增区间为和,单调递减区间为.

故的极大值为;的极小值为.

（2）证明:由（1）知,

设函数,

则,

,

则在上恒成立,即在上单调递增,

故,

又,则,

即在上恒成立.

因为,所以,

又,则,

因为,且在上单调递减,

所以,故.