Question

已知三棱锥(如图1)的平面展开图（如图2）中，四边形为边长等于的正方形，和均为正三角形，在三棱锥中：

（1）证明：平面平面；

（2）若点在棱上运动，当直线与平面所成的角最大时，求二面角的正切值．

Answer

（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）取中点，连接，则，由此能证明平面平面（2）由，得平面，从而是直线与平面所成角，且，进而当最短时，即是中点时，最大，由平面，得，以所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法先求出二面角的余弦值，根据同角三角函数关系即可求出正切值.

（1 ）三棱锥(如图1)的平面展开图（如图2）中

四边形为边长等于的正方形，和均为正三角形，

，

取中点，连接，

则，

且，

，

又，

平面,

平面,

平面平面

（2）由（1）知，

,

平面

是直线与平面所成角，且，

当最短时，即是中点时，最大，

由平面，得，

以所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图：

则，

，

设平面的法向量,

则，取，得，

设平面的法向量，

则，取，得，

设二面角的平面角为，

则，

所以，

二面角的正切值为.