Question

已知函数.

（1）求函数的图象在点处的切线方程；

（2）若在上有解，求的取值范围；

（3）设是函数的导函数，是函数的导函数，若函数的零点为，则点恰好就是该函数的对称中心.试求的值.

Answer

（1）

（2）

（3）

【解析】

（1）先求导数，根据导数几何意义得切线斜率，再根据点斜式得方程，

（2）先化简不等式，再利用参变分离法将二次不等式有解问题转化为对应函数最值问题，最后根据二次函数最值求结果，

（3）根据对称中心性质得，再利用对称性求和.

【解析】
（1）因为

所以所求切线的斜率

又因为切点为

所以所求的切线方程为

（2）因为，所以

因为在上有解，

所以不小于在区间上的最小值.

因为时，，

所以的取值范围是.

（3）因为，所以.

令可得，

所以函数的对称中心为，

即如果，则，

所以.