Question

已知函数，对任意a，恒有，且当时，有．

Ⅰ求；

Ⅱ求证：在R上为增函数；

Ⅲ若关于x的不等式对于任意恒成立，求实数t的取值范围．

Answer

（Ⅰ）； （Ⅱ）见解析； （Ⅲ）.

【解析】

Ⅰ根据题意，由特殊值法令，则，变形可得的值，

Ⅱ任取，，且设，则，结合，分析可得，结合函数的单调性分析可得答案；

Ⅲ根据题意，原不等式可以变形为，结合函数的单调性可得，令，则原问题转化为在上恒成立，即对任意恒成立，结合二次函数的性质分析可得答案．

Ⅰ根据题意，在中，

令，则，则有；

Ⅱ证明：任取，，且设，则，，

又由，

则，

则有，

故在R上为增函数．

Ⅲ根据题意，，

即，则，

又由，则，

又由在R上为增函数，则，

令，，则，

则原问题转化为在上恒成立，

即对任意恒成立，

令，只需，

而，，

当时，，则．

故t的取值范围是．