Question

已知f（x）为二次函数，且．

（1）求f（x）的表达式；

（2）判断函数在（0，+∞）上的单调性，并证明．

Answer

（1）；（2）增函数，证明见解析．

【解析】

（1）利用题中所给的条件，先设出函数的解析式，利用，将式子化为恒等式，利用对应项系数相等，得到方程组，求得结果；

（2）先化简函数解析式，利用单调性的定义，证明得到函数的单调性，得到结果.

（1）设f（x）=ax2+bx+c（a≠0），

由条件得：a（x+1）2+b（x+1）+c+a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c=2x2﹣4x，

从而， 解得：，

所以f（x）=x2﹣2x﹣1；

（2）函数g（x）=在（0，+∞）上单调递增．

理由如下：g（x）==，

设设任意x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，

则g（x1）﹣g（x2）=﹣（）=（x1﹣x2）（1+），

∵x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，

∴x1﹣x2＜0，1+＞0，

∴g（x1）﹣g（x2）＜0，即g（x1）＜g（x2），

所以函数g（x）=在（0，+∞）上单调递增．