Question

已知，.

（1）求在处的切线方程；

（2）若，证明在上单调递增；

（3）设对任意，成立求实数k的取值范围.

Answer

（1）；（2）详见解析；（3）.

【解析】

（1）求出的导数，求得切线斜率及切点，由点斜式即可得切线方程；

（2）求出的导数，将证明在上单调递增转化为在上恒成立即可；

（3）先化简求出，恒成立即恒成立，对求导，对进行讨论，研究的最小值不小于零即可.

【解析】
（1），，，

所以在处的切线方程为，即

（2），

则，

由于，故，

又，故，

故，即在上恒成立，

故在递增；

（3），

由对任意，恒成立，

设，

则，

再设，

则，

∵，∴

因此在上递增，

故，

①当时，即，

在递增，故，

即适合题意，

②当时，，，

若，则取，时，，

若，则在上存在唯一零点，记为，

当时，，

总之﹐存在使时，

即，故递减，，

故时，存在使，不合题意，

综上，.