Question

如图，在直三棱柱中，，且，点M在棱上，点N是BC的中点，且满足.

（1）证明：平面；

（2）若M为的中点，求二面角的正弦值.

Answer

（1）详见解析；（2）.

【解析】

（1）推导出平面，从而，由，得，再由，能证明平面．
（2）以A为原点，分别以AB、AC、为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的正弦值．

【解析】
（1）∵三棱柱为直三棱柱，∴

∵，平面，平面，且，

∴平面，（或者由面面垂直的性质证明）

又∵平面，∴

∵，∴，

∵，平面，平面，且，

∴平面

（2）以A为原点，分别以AB、AC、为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系﹐

设，则，，，，，，，

∵，∴，∴

∴，，

设平面法向量为

，

∴，∴可取

设平面法向量为

，

∴，∴可取

∴

所以二面角的正弦值为.