如图，在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，为抛物线上异于原点的任意一点，以为直径...

如图，在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，为抛物线上异于原点的任意一点，以为直径作圆，当直线的斜率为1时，.

（1）求抛物线的标准方程；

（2）过焦点作的垂线与圆的一个交点为，交抛物线于，（点在点，之间），记的面积为，求的最小值.

（1）（2）【解析】（1）求得直线的方程，联立抛物线方程，解得的坐标，由两点的距离公式可得，进而得到所求抛物线方程；（2）求得，设，，，，，，，，且，由向量垂直的坐标表示可得，由三角形的勾股定理和三角形的面积公式可得，设，联立抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式可得，再由两直线垂直的条件，以及构造函数法，求得导数和单调性，计算可得所求最小值．（1）当直线的斜率为1时，可得直线的方程为，联立抛物线方程，解得，即，，即，抛物线的方程为；（2）由（1）可得，设，，，，且，由题意可得，即，又，即，整理可得，又，则，即，又的斜率存在且不为0，，联立抛物线方程可得，可得，，则，由，可得，即，可得，则，可令，，显然在递增，且，当时，，时，，可得在递减，在递增，可得时，取得最小值23．即求的最小值为23．

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