Question

已知函数.

（1）求函数的单调区间和极值；

（2）若对任意的，恒有成立，求k的取值范围；

（3）证明：.

Answer

（1）的增区间，减区间，极大值，无极小值；（2）；（3）证明见解析.

【解析】

（1）由已知分别解出,即可求得单调区间、极值;

（2）由,分离参数可得:对任意的恒成立,由（1）即可求得k的取值范围;

（3）,由（1）知:,可得（当且仅当取等号）.令,即,利用“累加求和”、“裂项求和”即可求得答案.

（1） ,故

当,解得

列表如下:

单调递增

极大值

单调递减

因此增区间,减区间,极大值,无极小值.

（2） ，，

,即:

,可得:.

（3）由（1）可得，

当且仅当时取等号.

令,则

，

.