Question

已知函数（为自然对数的底数）．

（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；

（Ⅱ）若在区间上恒成立，求实数的取值范围．

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

试题（I）当a=1时，f（x）=ex+x-1，根据导数的几何意义可求得在点（1，f（1））处的切线的斜率，再由点斜式即可得切线方程，分别求出切线与x轴、y轴的交点A、B，利用直角三角形的面积公式即可求得；
（II）将f（x）≥x2在（0，1）上恒成立利用参变量分离法转化为在（0，1）上恒成立，再利用导数研究不等式右边的函数的单调性，从而求出函数的最大值，即可求出a的取值范围．

试题解析：

（Ⅰ）∵当时，，，

，，

∴函数在点处的切线方程为，

即．

设切线与轴的交点分别为，

令得，，令得，，

∴，，∴，

∴函数在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为．

（Ⅱ）由得，．

令，

则 ，

令，则．

∵，∴，在区间上为减函数，∴．

又，，∴，

∴在区间上为增函数，，

因此只需即可满足题意．