Question

对于函数，有下列4个命题：①任取，都有恒成立；②，对于一切恒成立；③函数有3个零点；④对任意，不等式恒成立.则其中所有真命题的序号是______.

Answer

①③④

【解析】

因为,定义域为,以长度为变化区间的正弦类型的曲线,且当时,后面每个周期都是前一个周期振幅的,根据相应性质判断命题即可求得答案.

对于①,如图:

任取

当,

当,,

,,恒成立

故①正确.

对于②,

,

故②错误.

对于③,的零点的个数问题,分别画出和的图像

如图:

和图像由三个交点.

的零点的个数为:.

故③正确.

对于④,设,

,

令 在,

可得:

当时,,,,

若任意,不等式恒成立,

即,可得

求证:当,,化简可得:

设函数,则

当时,单调递增,可得

即:

综上所述,对任意,不等式恒成立.

故④正确.

故答案为:①③④.