Question

如下图，在四棱锥中，面，，，，，，，为的中点．

（1）求证：面；

（2）线段上是否存在一点，满足？若存在，试求出二面角的余弦值；若不存在，说明理由．

Answer

（1）见解析；（2）存在点，满足,二面角的余弦值为．

【解析】

试题（1）要证平面，只要在平面内找到一条直线与平行即可，取的中点,构造平行四边形即可证明；（2）以分别为轴建立空间直角坐标系，写出点的坐标，假设上存在一点使，利用空间向量知识可得到在上存在点满足条件，平面的一个法向量为，再求出平面的法向量，即可求二面角的余弦值。

试题解析：（1）取的中点，连和，过点作，垂足为

∵，，∴，又

∴四边形为平行四边形，

∴，在直角三角形中，

∴，而分别为的中点，

∴且，又

∴且，四边形为平行四边形，

∴

平面，平面，∴平面。

（2）由题意可得，两两互相垂直，如图，以分别为轴建立空间直角坐标系，

则，假设上存在一点使，设坐标为，

则，由，得，

又平面的一个法向量为

设平面的法向量为

又，，

由，得，即

不妨设，有

则

又由法向量方向知，该二面角为锐二面角，

故二面角的余弦值为。