Question

如图所示的多面体是由一个直平行六面体被平面所截后得到的，其中，，.

（1）求证：平面平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

Answer

（1）见解析（2）

【解析】

（1）在中，由余弦定理可得，则可得，在直平行六面体中，平面，则可得，由此说明平面，即可证明平面平面；

（2）以为原点建立空间直角坐标系，表示出各点的坐标，求出平面的法向量，由直线与平面所成角正弦值的公式即可得到直线与平面所成角的正弦值．

（1）证明：在中，因为，.

由余弦定理得，，

解得，

∴，

∴，

在直平行六面体中，平面，平面，

∴

又，

∴平面，

∴平面平面.

（2）【解析】
如图以为原点建立空间直角坐标系，

因为，，

所以，，，，

，，.

设平面的法向量，

，

令，得，，

∴.

设直线和平面的夹角为，

所以，

所以直线与平面所成角的正弦值为.