Question

如图1，在梯形中，，，，过，分别作的垂线，垂足分别为，，已知，，将梯形沿，同侧折起，使得平面平面，平面平面，得到图2.

（1）证明：平面；

（2）求三棱锥的体积.

Answer

（1）见证明；（2）

【解析】

（1）设，取中点，连接，证得，且，得到四边形为平行四边形，得出，利用线面平行的判定定理，即可证得平面.

（2）证得，得到点到平面的距离等于点到平面的距离，再利用锥体的体积公式，即可求解.

（1）设，取中点，连接，

∵四边形为正方形，∴为中点，

∵为中点，∴且，

因为平面平面，平面平面，，

平面，所以平面，

又∵平面平面，∴平面平面，同理，平面，

又∵，，∴，

∴，且，∴四边形为平行四边形，∴，

∵平面，平面，∴平面.

（2）因为，平面，平面，所以

∴点到平面的距离等于点到平面的距离.

∴三棱锥的体积公式，可得.