Question

在棱长为1的正方体中，点是对角线上的动点（点与不重合），则下列结论正确的是____.

①存在点，使得平面平面；

②存在点，使得平面；

③的面积不可能等于；

④若分别是在平面与平面的正投影的面积，则存在点，使得.

Answer

①②④

【解析】

逐项分析.

①如图

当是中点时，可知也是中点且，，，所以平面，所以，同理可知，且，所以平面，又平面，所以平面平面，故正确；

②如图

取靠近的一个三等分点记为，记，，因为，所以，所以为靠近的一个三等分点，则为中点，又为中点，所以，且，，，所以平面平面，且平面，所以平面，故正确；

③如图

作，在中根据等面积得：，根据对称性可知：，又，所以是等腰三角形，则，故错误；

④如图

设，在平面内的正投影为，在平面内的正投影为，所以，，当时，解得：，故正确.

故填：①②④.