Question

设函数的图像关于直线对称.

（1）求的值；

（2）判断并证明函数在区间上的单调性；

（3）若直线与的图像无公共点，且，求实数的取值范围.

Answer

（1）；（2）单调递减，证明见解析；（3）.

【解析】

（1）根据函数图像关于直线对称可知，原函数与反函数解析式一致，先求，再根据对应关系即可求解；

（2）根据函数增减性的定义求解即可；

（3）由（1）可知，函数值域为，可求得，即可求得，又，结合（2）中函数为减函数去“”，再解绝对值不等式即可

（1）函数的图像关于直线对称，，根据对应关系得；

（2），在区间上单调递减，证明如下：

设，且，则，在区间上单调递减；

（3），直线与的图像无公共点，故，，令，

原式，又，

函数在区间上单调递减，所以，解得