Question

如图，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点．

（1）求证：MN∥平面PAD；

（2）在PB上确定一个点Q，使平面MNQ∥平面PAD.

Answer

(1)见解析；(2)见解析.

【解析】

（1）取PD的中点H,易证得AMNH为平行四边形，从而证得MN∥AH，即证得结论；

（2）由平面MNQ∥平面PAD,则应有MQ∥PA，利用中位线定理可确定位置.

(1)如图,取PD的中点H,

连接AH、NH.由N是PC的中点,H是PD的中点,知NH∥DC,NH=DC.

由M是AB的中点,知AM∥DC,AM=DC

.

∴NH∥AM,NH=AM,所以AMNH为平行四边形.

∴MN∥AH.

由MN⊄平面PAD,AH⊂平面PAD,

知MN∥平面PAD.

(2)若平面MNQ∥平面PAD,则应有MQ∥PA,

∵M是AB中点,∴Q是PB的中点.

即当Q为PB的中点时,平面MNQ∥平面PAD.