Question

已知是双曲线的右焦点，若双曲线左支上存在一点P，使渐近线上任意一点Q，都有，则此双曲线的离心率为 

A.     B.     C. 2    D.

Answer

D

【解析】

由题意知渐近线是线段的垂直平分线，由直线的方程和渐近线方程联立求得交点坐标，再利用中点坐标公式求得点P的坐标，代入双曲线方程求得离心率的值．

解法一：由题意知渐近线是线段的垂直平分线，

令，

由垂直平分线的定义和双曲线的定义知，

，

，

，

双曲线的离心率为；

解法二：由题意知渐近线是线段的垂直平分线，

且直线的方程为；

则由，解得，

即直线与渐近线的交点为；

由题意知，利用中点坐标公式求得点P的坐标为；

又点P在双曲线上，

，

化简得，

解得，

此双曲线的离心率为．

故选：D．