Question

集合、为的一个等浓二分划（即，，且.记集合中所有数的积为，集合中所有数的积为，称为的等浓二分划的特征数.证明：

（1）集合的等浓二分划的特征数一定为合数；

（2）若等浓二分划的特征数不为2的倍数，则该特征数为的倍数.

注：有限集合的元素个数简记为.

Answer

（1）见解析；（2）

【解析】

（1）集合中的2014个数恰有1007个偶数，1007个奇数.

若全部偶数不全在、的同一个集合中，则、每个集合中均含偶数.

于是，与被2整除.

因此，被2整除.

若全部偶数均在、的一个集合中，不妨设集合的1007个元素全为偶数，则集合的1007个元素全为奇数.

显然，集合中包含偶数6，集合中包含奇数3.

于是，与均为3的倍数.

因此，被3整除.

因为，所以，为合数.

（2）已知不为2的倍数.则为奇数当且仅当、一个为奇数一个为偶数.

不妨设为奇数.则集合的元素只能是这1007个奇数.

注意到，.

在集合中含有因数31的数记为.

因为中含两个因数31，所以，集合中含因数31的共有34个.

从而，在集合中型的数中除去，含有因数13的数超过34个.

类似地，在集合中型的数中除去和，含有因数5的数远远超过34个.

于是，.

集合的元素只能是这1007个偶数.

注意到，.

在集合中含有因数31的数记为

.

因为中含两个因数31，所以，集合中含因数31的共有33个.

从而，在集合中型或型的数含的因数5和13各自均多于33个.

于是，.

因此，，即.