Question

已知函数．

（1）探究函数在上的单调性；

（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．

Answer

（1）当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递增，在上单调递减；当时，函数在上单调递减；

（2）.

【解析】

（1）对函数求导后，对分成三类，讨论函数的单调性.（2）将原不等式转化为当时，恒成立，构造函数，利用导数研究函数的单调性，由此求得的取值范围.

（1）依题意，，

当时，，故；

当时，，故当时，，当时，；

当时，，故；

综上：当时，函数在上单调递增；

当时，函数在上单调递增，在上单调递减；

当时，函数在上单调递减；

（2）由题意得，当时，恒成立；

令，

求导得，

设，则，

因为，所以，所以，

所以在上单调递增，即在上单调递增，

所以；

①当时，，此时，在上单调递增，

而，所以恒成立，满足题意；

②当时，，

而；

根据零点存在性定理可知，存在，使得.

当时，单调递减；

当时，，单调递增.

所以有，这与恒成立矛盾，舍去；

综上所述，实数的取值范围为.