Question

已知椭圆两焦点分别为是椭圆在第一象限弧上一点，并满足，过P作倾斜角互补的两条直线分别交椭圆于两点．

(1)求点坐标；

(2)求证：直线的斜率为定值；

(3)求面积的最大值．

Answer

（1） ； （2）证明见解析；（3） .

【解析】

（1）设出的坐标，则可分别表示出和，进而利用求得和的关系,同时根据求得和即的坐标；（2）设出的方程,与椭圆方程联立根据，表示出和,同理表示出点的坐标,进而求得的斜率，化简即可得结果；（3）设出的方程与椭圆的方程联立,利用韦达定理表示出和,进而求得,最后利用弦长公式求得的长，利用三角形面积公式表示出三角形面积，结合基本不等式即可得到结论.

（1）由题可得，

设，

则，

，

点在曲线上，则，

从而，得，

则点的坐标为.

（2）由题意知，两直线的斜率必存在，设的斜率为，

则的直线方程为，

由得，

设，则，

同理可得，

则，

的斜率为定值.

（3）设的直线方程，

得，

由得，

到的距离为，

则

，

当且仅当时取等号，

三角形面积的最大值为.