Question

已知函数，斜率为的直线过点，其中.

（Ⅰ）若函数的图象恒在直线的上方（点除外），求的值；

（Ⅱ）证明：.

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）证明见解析．

【解析】

（1）构造函数，求导得由于，所以最小值必为单调性说明其它情况不满足题意，（2）当时，，再利用等差数列求和公式得结果.

（Ⅰ）直线的方程为，

令，有，

①当 单调增，（不合题意）.

②当令得所以在单调增，（不合题意）.

③当令得，有在单调减，在单调增，所以在处取得最小值（合题意）.

④当令得所以在单调减，（不合题意）.

综上可得

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）当时，

所以，即，令

累加得：.

即.