Question

（本题满分14分）各项为正的数列满足,，

（1）取，求证：数列是等比数列，并求其公比；

（2）取时，令，记数列的前项和为，数列的前项之积为，求证：对任意正整数，为定值．

Answer

（1）见解析；（2）见解析．

【解析】

试题分析：第一问根据题中所给的数列的递推公式，结合新数列的形式，对递推公式进行变形，从而求得相邻两项之间的比值为一个常数，从而确定出公比是多少，即为等比数列，第二问求得对应的项的和与项的积，从而求得为定值，所以求解的过程即为证明的过程．

试题解析：（1）

两边同除可得：

因为，所以为常数，故数列是等比数列，公比为

（2）由

所以

所以，故 为定值．