Question

已知函数．

（1）当，且是上的增函数，求实数的取值范围；

（2）当，且对任意实数，关于的方程总有三个不相等的实数根，求实数的取值范围．

Answer

（1）；（2）．

【解析】

试题分析：（1）分类讨论将中的绝对值号去掉，再根据二次函数的性质得到关于的不等式组，即可求解；（2）是由两个二次函数构成的分段函数，对的取值讨论两个二次函数对称轴的位置，结合二次函数的性质，再利用函数图象，即可求解．

试题解析：（1），由于在上递增，

∴；（2），∵，两对称轴分别是，

①当时，，此时在上递增，在上递减，在上递增，，，由题得，对恒成立，即，对恒成立，而时，；

②当时，，此时在上递增，在上递减，在上递增，，，由题得，对恒成立，即，对恒成立，

对对恒成立得，或，或，

∴，同理对，对恒成立，得，∴当时，；

综上，由①②可知，所求的范围是．