Question

在中，，以的中线为折痕，将沿折起，如图所示，构成二面角,在面内作，且．

（1）求证：∥平面；

（2）如果二面角的大小为，求二面角的余弦值．

Answer

（1）见解析；（2）

【解析】

（1）根据计算得为等腰直角三角形，所以从而∥，根据线面平行判定定理得结论，（2）根据二面角定义得面面，再根据面面垂直性质定理得面，设中点为，根据计算可得，，即得为二面角的平面角，最后根据解三角形得结果.

（1）由得，所以为等腰直角三角形，由为的中点得，以的中线为折痕翻折后仍有

因为，所以∥，

又平面，平面，所以∥平面．

（2）因为二面角的大小为，所以面面，

又面面,，所以面，

因此，又，所以面，从而．

由题意，所以中，．设中点为，因为，所以，且，设中点为，则∥，由得，所以为二面角的平面角，

连结，在中，因为，所以．

在中，

于是在中，．

在中，，

所以在中，．

因此二面角的余弦值为