Question

已知数列是首项为2的等差数列，其前项和满足数列是以为首项的等比数列，且．

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列的前项和为，若对任意 ，不等式恒成立，求的取值范围．

Answer

（1），；（2）

【解析】

（1）由题意得，解得，由等比数列性质得，解得公比，最后根据等差数列以及等比数列通项公式求结果，（2）先根据等差数列以及等比数列求和公式求，，再利用裂项相消法求，代入化简得，最后根据数列单调性得，即得的取值范围.

（1）设等差数列的公差为，由题意得，，解得，

∴

由，从而公比，

∴

（2）由（1）知

∴

又，

∴对任意，等价于

恒成立，即

∵对 递增，

∴，

∴.即的取值范围为