Question

已知函数

（Ⅰ）若曲线与直线相切，求的值.

（Ⅱ）若设求证：有两个不同的零点，且.（为自然对数的底数）

Answer

(Ⅰ)(Ⅱ)证明见解析.

【解析】

（Ⅰ）设切点，由导数的性质可得结合切点在函数上，可得

（Ⅱ）不妨设，，则在上单调递减，由函数零点存在定理可得存在，使得，分类讨论有：①当时，在区间上存在零点，且.②当时,在区间上必存在零点，且.据此即可证得题中的结论.

（Ⅰ）设切点

又切点在函数上，即

（Ⅱ）不妨设，，所以在上单调递减，

又，

所以必存在，使得，即

.

①当时，，

所以在区间上单调递减，

注意到，

所以函数在区间上存在零点，且.

②当时,所以在区间上单调递增，

又，

且，

所以在区间上必存在零点，且.

综上，有两个不同的零点、，且.