Question

已知抛物线的焦点为，过抛物线上一点作抛物线的切线，交轴于点.

（1）判断的形状；

（2） 若两点在抛物线上，点满足，若抛物线上存在异于的点，使得经过三点的圆与抛物线在点处的有相同的切线，求点的坐标.

Answer

(1) 为等腰三角形.

(2) 点的坐标为.

【解析】

（1）设，则切线方程为，由两点之间距离公式和抛物线的定义计算可得,则为等腰三角形.

（2）设，易知，由点B在抛物线上可得或，联立方程可得圆心，据此得到关于的方程，解方程可得.则点的坐标为.

（1）设，

则切线的方程为，即，

∴，∵，∴,

所以为等腰三角形

（2）设，∵，∴是的中点，∴

∵在抛物线上∴，∴或

∴两点的坐标为，设，

则切线方程为， ①

AB的垂直平分线方程为， ②

由①②得圆心，

由，得，∴或,

.

∴点的坐标为.