Question

如图，在直三棱柱中， 、分别为、的中点， ， .

（1）求证：平面平面；

（2）若直线和平面所成角的正弦值等于，求二面角的平面角的正弦值.

Answer

（1）见解析；（2）.

【解析】试题分析：（1）要证面面垂直，先证线面垂直， 平面，再由面面垂直的判定得到面面垂直；（2）建系得到面的法向量和直线的方向向量，根据公式得到线面角的正弦值。.

解析：

（1）在直三棱柱中

又

平面， 平面，

∴平面

又∵平面

∴平面平面.

（2）由（1）可知

以点为坐标原点， 为轴正方向， 为轴正方向， 为轴正方向，建立坐标系.设

， ， ， ， ， ， ，

直线的方向向量，平面的法向量

可知∴

， ，

设平面的法向量

∴∴

设平面的法向量

∴∴

记二面角的平面角为

∴

二面角的平面角的正弦值为.